MATRIKS

MATRIKS

1.  OPERASI DASAR MATEMATIKA

a.  Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnya

Misalkan A dan B adalah matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C=A+B, dengan elemen-elemen ditentukan oleh cij=aij+bij (untuk semua i dan j).

Catatan :

Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.

Sifat –sifatnya :

Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan O adalah matriks O dengan ukuran yang sama pula, maka berlaku :

1.    A + B = B + A                        (Sifat komutatif)

2.    A + (B + C) = (A+ B) + C      (Sifat asosiatif)

3.    O + A = A + O = A     (Elemen identitas)

4.    A + (-A) = (-A) + A = O          (Invers penjumlahan)

b.  Pengurangan Dua Matriks

Catatan : Lawan atau negatif dari matriks A  berukuran m x n (ditulis dengan –A) adalah suatu matriks berukuran m x n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan -1. Jika A = [a_ij], maka –A = [-a_ij].

Jika A dan B adalah dua matriks berukuran sama, maka          A – B = A + (-B)

c.  Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks

Perkalian skalar adalah perkalian matriks dengan bilangan real. Jika A adalah matriks dan k bilangan real, perkalian skalar kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k. untuk A =  [a_ij], maka :

                        k A =  [ka_ij]

Misalkan A dan B adalah dua matriks berukuran m x n dan k, l adalah bilangan real, maka :

1)    k(A + B) = kA + kB

2)    (k + l)A = kA + lA

3)    (kl)A = k(lA)

4)    1.A = A

d.  Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnya

Misalkan A =  [a_ij] adalah matriks yang berordo m × p dan B = adalah matriks yang berordo q × n. Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo m × n dinotasikan A × B = C =  [c_ij] berordo m × n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + …+ aip bpj, dengan i = 1,2,3, …, m; dan       j = 1,2,3,…,n.

Catatan:

Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Sifat :

1.    IA = AI = A     (Identitas)

2.    (AB)C = A(BC)          (Asosiatif)

3.    Distributif A(B + C) = AB + AC

         A(B – C) = AB – AC

        (A + B)C = AC + BC

                (A – B) C = AC – BC

e.  Perpangkatan Matriks

Jika A adalah matriks persegi berukuran n  x n, maka berlaku :

A² = AA, A³= A²A, … , A^{n +1} = AⁿA , … , dan A⁰ = I

Contoh : jika diberikan A = , hitunglah :

a.    A²

b.    A³

c.    A⁴

2. Determinan Dan Invers Matriks

a.   Determinan Matriks.

Determinan adalah suatu fungsi yang menghubung bilangan real dengan matriks persegi.

Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m ∈ R. Jika

determinan matriks A dinotasikan lAl dan determinan matriks B dinotasikan lBl , maka lABl = lAl.lBl

1.    Determinan matriks berordo 2 x 2

Rumus : , maka determinan dari matriks A adalah

             = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁

2.    Determinan matriks berordo 3 x 3

Rumus : , maka determinan dari matriks A adalah

a.    Metode Sarrus

Jika

det A = (a₁₁a₂₂a₃₃+ a₁₂a₂₃a₃₁₊ a₁₃a₂₁a₃₂)-( a₃₁a₂₂a₁₃+ a₃₂a₂₃a₁₁₊ a₃₃a₂₁a₁₂)

b.    Metode Ekspansi Kopaktor

M₁₁ =       M₁₂ =     M₁₃ =

det A = +a₁₁  - a₁₂   + a₁₃

b.Invers Matriks

Ø  Matriks singular yaitu matriks yang tidak mempunyai invers / determinannya sama dengan 0.

Ø  Matriks non singular yaitu matriks yang mempunyai invers / determinannya tidak sama dengan 0.

1.    Menentukan Invers Matriks Berordo 2 x 2

Rumus : Invers matriks  adalah  ,                   dengan ad – bc ≠ 0.

2.    Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3

a.    Dengan Adjoin

Rumus : adj (A) = (kof (A))^t

    Invers matriks A = maka,

                              

Ø  Matriks singular yaitu matriks yang tidak mempunyai invers / determinannya sama dengan 0.

Ø  Matriks non singular yaitu matriks yang mempunyai invers / determinannya tidak sama dengan 0.

Latihan :

1.    Rumus invers matriks

2.    Sebutkan sifat-sifat invers matriks

3.    Tentukan invers dari matriks D =

4.    Tentukan B^-1jika B =

Persamaan Matriks

            Rumus : A.X = B → X = A^-1 . B

                            X.A = B → X = B . A^-1

Contoh : Diketahui A =  dan B =  , tentukan matriks X yang memenuhi       

a.    A X = B

b.    X A = B

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Matriks

1.    Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Cara 1

Rumus : Bentuk umum SPLDV

    ax + by = p

                cx +dy = q

                Dapat disusun :

                            =                  =

Cara 2

Rumus :     =                D =

                                                               D_x =

                                                         D_y =

           Maka nilai x dan y adalah :                                                                                                                                                                                                                              

2.    Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Bentuk umum SPLTV 

Cara 1

Dapat disusun :             , atau

                                                                                              

            Cara 2

Rumus            D =

                                                                     D_X = 

                                                                     D_y  =        

                                                                     D_z = 

Nilai x, y, dan z adalah

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :

a.    2x + y = 4

 x + 3y = 7

b.    2x + y – z = 1

  x + y + z = 6

  x – 2y + z =0

            Penyelesaian :

a.    2x + y = 4

       x + 3y = 7

maka :     =  

Cara 1 :   =

                              =

                              =

        Maka nilai x = 1 dan y = 2 jadi HP adalah (1 , 2)

        Cara 2 : D =

            D_x =

           D_y =

         Maka nilai x dan y adalah :

         Jadi HP adalah (1 , 2)

                                                                                                           

b.    2x + y – z = 1

               x + y + z = 6

               x – 2y + z =0

    Maka :      

    Cara 1:

                  

                                                                                               

            Maka nilai x = 1, y = 2 dan x = 3

           Jadi HP adalah (1 , 2, 3)

           

            Cara 2

 D =  = 

                              =  2.3 – 1.0 – 1.(-3) = 9  

 D_X =  = 

                              =  -6.3 + 1.1 – 1.(-2) = 9

 D_y  =    

                                                                     D_z = 

Nilai x, y, dan z adalah