Minggu, 09 November 2014


MATRIKS



MATRIKS

1.  OPERASI DASAR MATEMATIKA
a.  Penjumlahan Matriks dan Sifat-sifatnya
Misalkan A dan B adalah matriks berordo m x n dengan elemen-elemen aij dan bij. Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C=A+B, dengan elemen-elemen ditentukan oleh cij=aij+bij (untuk semua i dan j).
Catatan :
Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks sama dengan ordo matriks yang dijumlahkan.
Sifat –sifatnya :
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan O adalah matriks O dengan ukuran yang sama pula, maka berlaku :
1.    A + B = B + A                        (Sifat komutatif)
2.    A + (B + C) = (A+ B) + C      (Sifat asosiatif)
3.    O + A = A + O = A     (Elemen identitas)
4.    A + (-A) = (-A) + A = O          (Invers penjumlahan)

b.  Pengurangan Dua Matriks
Catatan : Lawan atau negatif dari matriks A  berukuran m x n (ditulis dengan –A) adalah suatu matriks berukuran m x n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan -1. Jika A = [aij], maka –A = [-aij].
Jika A dan B adalah dua matriks berukuran sama, maka          A – B = A + (-B)

c.  Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks
Perkalian skalar adalah perkalian matriks dengan bilangan real. Jika A adalah matriks dan k bilangan real, perkalian skalar kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k. untuk A =  [aij], maka :
                        k A =  [kaij]
Misalkan A dan B adalah dua matriks berukuran m x n dan k, l adalah bilangan real, maka :
1)    k(A + B) = kA + kB
2)    (k + l)A = kA + lA
3)    (kl)A = k(lA)
4)    1.A = A

d.  Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifatnya
Misalkan A =  [aij] adalah matriks yang berordo m × p dan B = adalah matriks yang berordo q × n. Hasil kali matriks A dan B adalah suatu matriks C berordo m × n dinotasikan A × B = C =  [cij] berordo m × n dengan elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + …+ aip bpj, dengan i = 1,2,3, …, m; dan       j = 1,2,3,…,n.

Catatan:
Matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Sifat :
1.    IA = AI = A     (Identitas)
2.    (AB)C = A(BC)          (Asosiatif)
3.    Distributif A(B + C) = AB + AC
         A(B – C) = AB – AC
        (A + B)C = AC + BC
                (A – B) C = AC – BC

e.  Perpangkatan Matriks
Jika A adalah matriks persegi berukuran n  x n, maka berlaku :
A2 = AA, A3= A2A, … , An +1 = AnA , … , dan A0 = I
Contoh : jika diberikan A = , hitunglah :
a.    A2
b.    A3
c.    A4


2. Determinan Dan Invers Matriks
a.   Determinan Matriks.
Determinan adalah suatu fungsi yang menghubung bilangan real dengan matriks persegi.
Misalkan matriks A dan B merupakan matriks persegi berordo m × m dengan m R. Jika
determinan matriks A dinotasikan lAl dan determinan matriks B dinotasikan lBl , maka lABl = lAl.lBl

1.    Determinan matriks berordo 2 x 2

Rumus : , maka determinan dari matriks A adalah
             = a11a22 – a12a21

2.    Determinan matriks berordo 3 x 3
Rumus : , maka determinan dari matriks A adalah
a.    Metode Sarrus
Jika
det A = (a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32)-( a31a22a13+ a32a23a11+ a33a21a12)

b.    Metode Ekspansi Kopaktor
M11 =       M12 =     M13 =

det A = +a11  - a12   + a13
b.Invers Matriks
Ø  Matriks singular yaitu matriks yang tidak mempunyai invers / determinannya sama dengan 0.
Ø  Matriks non singular yaitu matriks yang mempunyai invers / determinannya tidak sama dengan 0.
1.    Menentukan Invers Matriks Berordo 2 x 2
Rumus : Invers matriks  adalah  ,                   dengan ad – bc ≠ 0.
2.    Menentukan Invers Matriks Berordo 3 x 3
a.    Dengan Adjoin
Rumus : adj (A) = (kof (A))t
    Invers matriks A = maka,
                              
Ø  Matriks singular yaitu matriks yang tidak mempunyai invers / determinannya sama dengan 0.
Ø  Matriks non singular yaitu matriks yang mempunyai invers / determinannya tidak sama dengan 0.
Latihan :
1.    Rumus invers matriks
2.    Sebutkan sifat-sifat invers matriks
3.    Tentukan invers dari matriks D =
4.    Tentukan B-1jika B =

Persamaan Matriks

            Rumus : A.X = B X = A-1 . B
                            X.A = B X = B . A-1

Contoh : Diketahui A =  dan B =  , tentukan matriks X yang memenuhi       
a.    A X = B
b.    X A = B

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier dengan Matriks
1.    Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
Cara 1
Rumus : Bentuk umum SPLDV
    ax + by = p
                cx +dy = q
                Dapat disusun :
                            =                  =

Cara 2
Rumus :     =                D =
                                                               Dx =
                                                         Dy =
           Maka nilai x dan y adalah :                                                                                                                                                                                                                              
2.    Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
Bentuk umum SPLTV 
Cara 1
Dapat disusun :             , atau
                                                                                              

            Cara 2
Rumus            D =
                                                                     DX = 
                                                                     Dy  =        
                                                                     Dz = 
Nilai x, y, dan z adalah
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut :
a.    2x + y = 4
 x + 3y = 7
b.    2x + y – z = 1
  x + y + z = 6
  x – 2y + z =0
            Penyelesaian :
a.    2x + y = 4
       x + 3y = 7

maka :     =  
Cara 1 :   =

                              =
                              =
        Maka nilai x = 1 dan y = 2 jadi HP adalah (1 , 2)
        Cara 2 : D =
            Dx =
           Dy =
         Maka nilai x dan y adalah :
         Jadi HP adalah (1 , 2)
                                                                                                           
b.    2x + y – z = 1
               x + y + z = 6
               x – 2y + z =0
    Maka :      
    Cara 1:
                  
                                                                                               
            Maka nilai x = 1, y = 2 dan x = 3
           Jadi HP adalah (1 , 2, 3)
           
            Cara 2
 D =  = 
                              =  2.3 – 1.0 – 1.(-3) = 9  
 DX =  = 
                              =  -6.3 + 1.1 – 1.(-2) = 9
 Dy  =    
                                                                     Dz = 
Nilai x, y, dan z adalah








Loading...
Loading...